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| 关键词： 递归 子树 问题 边界 then else 算法 条件 begin 程序 |
[递归的描述] 由上面的例子可以看出，一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。当边界条件不满足时，递归前进；当边界条件满足时，递归返回。因此，在考虑使用递归算法编写程序时，应满足两点：1）该问题能够被递归形式描述；2）存在递归结束的边界条件。 递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合。用递归思想写出的程序往往十分简洁易懂。 [例2] 给出一棵二叉树的中序与后序排列。求出它的先序排列。[分析] 通过对比二叉树的中序与后序排列，我们可以找出根节点及左右子树。同样的，有可以通过对比左子树的中序与后序排列，找出左子树的根节点……可见，该问题能够被递归描述。当找到最后一个根节点时，递归无法再进行下去，这就是递归结束的边界条件。由此可见，递归算法中常常隐含了分治思想。程序如下：program chu01_3; var z,h: string; procedure find(a,b:string); var s,l : integer; begin l:=length(b); if l=1 then Write(b) {边界条件及递归返回段} else begin {递归前进段} Write(b[l]); s:=pos(b[l],a); if s-1>0 then find(copy(a,1,s-1),copy(b,1,s-1)); {递归左子树} if l-s>0 then find(copy(a,s+1,l-s),copy(b,s,l-s)); {递归右子树} end; end; begin Readln(z); Readln(h); Find(z,h); Readln; end.[递归的应用] 1.经典递归 例如hanoi塔问题：经典的递归，原问题包含子问题。有些问题或者数据结构本来就是递归描述的，用递归做很自然。 2.递归与递推 利用递归的思想建立递推关系，如由兔子生崽而来的fibonacci数列。但递推由于没有返回段，因此更为简单，有时可以直接用循环实现。 3.分治 不少分治方法是源于递归思想，或是递归分解+合并处理。 4.回溯 规模较小的问题用回溯解决比较自然。注意递归前后要保证现场的保存和恢复，即正确的转化问题。 5.动态规划 动态规划的子问题重叠性质与递归有某种相似之处。递归+动态修改查表是一种不错的建立动态规划模型的方法。 6.其他 其他么，就是不好归类。例如表达式处理，排列组合等。附带说一下，用递归来处理打印方案的问题还是很方便的。 [例3] 求把一个整数n无序划分成k份互不相同的正整数之和的方法总数。[分析] 这是一道动态规划题，动态方程如下： f[i-1,j]+f[i,j-i]+1 （(j mod i=0) and (j div i=1)） f[i,j]:= f[i-1,j] (i>=j) f[i-1,j]+f[i,j-i] （else） s:=f(k,n-k)本题可以用循环来实现递推,也可以考虑用递归求解。主过程如下： 方案一：Procedure work(I,j:longint; var s:longint); Var t:longint; BeginIf (i=1) or (j=1) then s:=1 Else if (i=0) or (j=0) then s:=0 Else begin if (j mod i=0) and (j div i=1) then begin work(i-1,j,s); t:=s; work(i,j-1,s); s:=s+t+1; end else if (i>=j) then work(i-1,j) else begin work(i-1,j,s); t:=s; work(I,j-1,s); s:=s+t; end; End; 方案二：procedure search(v,w,last:byte);var i:byte;begin if w=0 then inc(count) else if w=1 then if v>=last then search(0,0,0) else else for i:=last to v-1 do search(v-i,w-1,i);end; 可以看出，方案一的程序较为冗长，消耗栈空间较大；而方案二较为简洁明了，所用的栈空间也较小，效率较高。因此，使用递归算法也有一个优化问题。算法的简洁与否直接制约了程序的可行性和效率。 [总结] 递归使一些复杂的问题处理起来简单明了，尤其在学习算法设计、数据结构时更能体会到这一点。但是，递归在每一次执行时都要为局部变量、返回地址分配栈空间，这就降低了运行效率，也限制了递归的深度。因此，在必要的时候可以只使用递归的思想来求解，而程序则转用非递归的方式书写。 |
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