最短路径算法Dijkstra算法 在路由选择算法中都要用到求最短路径算法。最出名的求最短路径算法有两个，即Bellman-Ford算法和Dijkstra算法。这两种算法的思路不同，但得出的结果是相同的。我们在下面只介绍Dijkstra算法，它的已知条件是整个网络拓扑和各链路的长度。 应注意到，若将已知的各链路长度改为链路时延或费用，这就相当于求任意两结点之间具有最小时延或最小费用的路径。因此，求最短路径的算法具有普遍的应用价值。 下面以图A-1的网络为例来讨论这种算法，即寻找从源结点到网络中其他各结点的最短路径。为方便起见，设源结点为结点1。然后一步一步地寻找，每次找一个结点到源结点的最短路径，直到把所有的点都找到为止。 令D(v)为源结点(记为结点1)到某个结点v的距离，它就是从结点1沿某一路径到结点v的所有链路的长度之和。再令l(i, j)为结点i至结点j之间的距离。整个算法只有以下两个部分： (1) 初始化 令N表示网络结点的集合。先令N = {1}。对所有不在N中的结点v，写出 在用计算机进行求解时，可以用一个比任何路径长度大得多的数值代替∞。对于上述例子，可以使D(v) = 99。 (2) 寻找一个不在N中的结点w，其D(w)值为最小。把w加入到N中。然后对所有不在N中的结点v，用[D(v), D(w) l(w, v)]中的较小的值去更新原有的D(v)值，即： D(v)←Min[D(v), D(w) l(w, v)] （E-1） (3)重复步骤(2)，直到所有的网络结点都在N中为止。 表E-1是对图E-1的网络进行求解的详细步骤。可以看出，上述的步骤(2)共执行了5次。表中带圆圈的数字是在每一次执行步骤(2)时所寻找的具有最小值的D(w) 值。当第5次执行步骤(2)并得出了结果后，所有网络结点都已包含在N之中，整个算法即告结束。
现在我们对以上的最短路径树的找出过程进行一些解释。 因为选择了结点1为源结点，因此一开始在集合N中只有结点1。结点1只和结点2, 3和4直接相连，因此在初始化时，在D(2)，D(3)和D(4)下面就填入结点1到这些结点相应的距离，而在D(5)和D(6)下面填入∞。 下面执行步骤1。在结点1以外的结点中，找出一个距结点1最近的结点w，这应当是w = 4，因为在D(2)，D(3)和D(4)中，D(4) = 1，它的之值最小。于是将结点4加入到结点集合N中。这时，我们在步骤1这一行和D(4)这一列下面写入①，数字1表示结点4到结点1的距离，数字1的圆圈表示结点4在这个步骤加入到结点集合N中了。 接着就要对所有不在集合N中的结点（即结点2, 3, 5和6）逐个执行（E-1）式。 对于结点2，原来的D(2) = 2。现在D(w) l(w, v) = D(4) l(4,2) = 1 2 = 3 |
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