（题图：Gmbc冈布茨，展于上海世博会匈牙利馆） 接上回，继续“恶棍”列传。 简单的回顾一下跨越界限几文的数学基础，局限在理论物理与新几何（避免话题过大），更细节的说，局限在对称、对偶等定性研究（整体性），部分已在恶棍列传中提及。 30，冈布茨阿诺德A.I.Arnold Gmbc冈布茨是一个与不倒翁很相似的三维体，与之不同的是，冈布茨是质量均匀的，而不倒翁的质量集中在底部，通常数学界不认为这种形体存在，A.I.Arnold在1995年预测冈布茨存在，2006年由Gabor Domokos、Péter Várkonyi证明且制造出来，在上海世博会匈牙利馆展出，象征着匈牙利民族总是能从挫折中“重新站立起来”的精神。A.I.Arnold，名号就冈布茨“恶棍”吧，如冈布茨一般，这独立于个人的现实世界，就像一个永恒的谜，对它的凝视、沉思，就像对自由的寻求一样，吸引着每一个拥有哲学气质的数学家。
冈布茨“恶棍”阿诺德被Michael Atiyah归入数学中的直觉主义一系（《二十世纪的数学》载于数学译林2002 ，本文部分思想参考他，错误的请归于我，偶尔正确的，请归于阿蒂亚Atiyah），倾向于几何精神的牛顿-庞加莱-阿诺德，与之对应的是倾向于抽象代数的莱布尼兹-希尔伯特-布尔巴基的一系。第6节已谈到名字算什么“恶棍”庞加莱，这里来聊聊冈布茨“恶棍”阿诺德。 与名字算什么“恶棍”庞加莱，冈布茨“恶棍”阿诺德才真是可以说“名字算什么”的那位。他认为，就好像美国新大陆不以哥伦布命名一样，数学结果也几乎从未以它们真正的发现者来命名。M. Berry教授曾提过两个原理：Arnold原理，如果某个理念中出现了某个人名，则这个人名必非发现此理念者的名字；Berry原理，Arnold原理适用于自身。冈布茨“恶棍”阿诺德并没有像他的前辈牛顿、庞加莱一样，去“作出抉择，要么什么都不发表，要么用一生去保卫自己的发明权”。 冈布茨“恶棍”阿诺德还跟L. Pasteur一样，认为并没有什么应用科学，有的仅仅是科学的应用。而数学只是物理学的一部分，是物理学中只需要花费较少的代价进行实验的那一部分。例如Jacobi恒等式（三角形三条高交于一点）就是一个实验事实，正如同地球是圆的（即同胚于球体）这样的事实一样，只是发现前者要比发现后者需要较少的代价。严格区分物理学和数学对现代教育是灾难性的，在数学中添加挑战大脑的“抽象数学”，是一种丑陋建筑物、是一种毒害，这种毒害竟然发生在贡献了Lagrange、Laplace、Cauchy、Poincaré、Leray、Thom这些顶级伟大人物的法国：
甚至由Goursat、Hermite、Picard等人写的与物理和现实经常发生联系的微积分教程被认为是有害的，差点被巴黎第六和第七大学的图书馆当垃圾丢掉，只是在冈布茨“恶棍”阿诺德的干预下才得以保存，真是让人扼腕叹息。 构造数学理论的方式与其它的自然科学并没有什么不同。同样是观察－－扩展其结果并设定应用限制－－检验。从而发展出一整套的技术，即“建模”，就像锥截曲线理论模型是古希腊数学家建立的，两千年后，牛顿才将其应用于天体力学，成为一种有用的工具。而欧拉和牛顿的数学成果，地球与太阳之间的秤动点，18世纪的精确解，今天才应用于宇航之中，空间站永远停留在秤动点附近，当正确选择校正方法时，其它物体摄动的影响不改变最后结果（P. E. Eljasberg，1986）。1979年诺贝尔物理学奖获得者温伯格这么说：“一些数学家出卖灵魂给魔鬼，以换取何种数学在许多年后将为物理学家所应用的信息”。数学模型的毒害作用恰恰体现在由现实世界抽离而绝对化的模型，不再与现实相符合（F. Klein）。而且，复杂的模型既不可靠，也无用处。数学的重要之处仍然在于Wigner所指出的那种，在物理之中不可思议的有效性。 想起那个球形奶牛的笑话，从前有一个农夫请数学家提高奶牛的产奶量，数学家研究一番之后，跟农夫做报告，第一句话就是：假设有一头球形的奶牛…… 数学家大多早慧，冈布茨“恶棍”阿诺德也不例外，他在19岁就解决了希尔伯特第十三问题，之后专注于哈密顿动力系统的研究，是KAM理论（Kolmogorov-Arnold-Moser）的创立者之一，KAM理论是第26节所谓的局域宇宙模型的典型理论。冈布茨“恶棍”阿诺德还提出了光滑映射的奇点理论，是第12节中提到的新旧三论中突变论的数学内核。同样，冈布茨“恶棍”阿诺德还利用高维几何描述不可压缩流体运动的内在不稳定性。冈布茨“恶棍”阿诺德将名字算什么“恶棍”庞加莱的最后几何定理推广到高维，做了一些辛几何的奠基性工作。 冈布茨“恶棍”阿诺德是莫斯科数力系Mechmat的代表人物，这里50年代走出来Kolmogorov（数学家应该是自然哲学家那位）、Gelfand、Petrovski，70、80年代走出来的还有Manin、Sinai、S. Novikov、V. M. Alexeev、Anosov、A. Kirillov、拓扑大家Postnikov、代数几何宗师Shafarevich等，Rokhlin、Pontriagin、P. S. Alexandrov、Lusternik、Khinchin都在这里讲过课，还有Markov Chain的Markov等。之前20年代还有Lusin学派，培养出各个分支的大家。真是盛况云集，只能仰视啊。可惜后来的政治动荡（80、90年代），大部分都离开了，Gelfand去了Rutgers，Drinfeld去了Chicago，Margulis和Zelmanov去了Yale。 31，对称守恒艾米诺特 唯一与莫斯科相比的，可能只有数学圣地哥廷根。哥廷根走出过高斯、黎曼、Klein、希尔伯特、闵可夫斯基、冯诺依曼，20年代，仍有Hilbert继承人Weyl，克莱因继承人Courant，同样可惜的是30年代的政治动荡，大部分都流亡美国了。20世纪最伟大的女数学家，对称守恒“恶棍”诺特Noether，就是在数学圣地哥廷根完成她最重要的理论，诺特定理的。 诺特定理表明，力学体系的每一个连续的对称变换，均有一个守恒量与之对应。对称是一种整体的几何结构特征，可以等同于变换中不变性，守恒定律是对变化之中物理量的不变规律的描述，对称守恒“恶棍”诺特揭露两者之间的深层联系，即变换中的不变性等同于一种守恒律。更确切的说，对称指物理性质在一维李群作用下所满足的协变性，它是物理中各种形式下不变性的数学基础。 三种类型的对称守恒： －时空对称。如，空间平移不变性即线性动量守恒，转动不变性即角动量守恒（第26节），时间平移不变性即能量守恒。又可以统一为拉格朗日量不变性。 －内禀对称。电磁规范场的U(1)群不变即电荷守恒（gauge theory，Dirac1931），同位旋SU(2)规范变换即同位旋守恒，夸克场SU(3)变换即色守恒。守恒荷称为诺特荷，如电荷、色荷。 －信息对称。诺特定理也用于计算黑洞墒，即信息守恒（参考第8节）。 诺特定理一般针对的是连续对称，不过后来也用于离散对称，例如宇称，就是后来广为人知分立CPT对称（product of parities守恒）的故事，成为标准模型的基础。总之，可以说：对称支配相互作用（即力）。 变换，则是对物理过程的一种几何表述。例如最早用来描述运动的伽俐略变换，在牛顿力学框架下修正运动描述以适应电磁框架，得到洛伦兹变换，将时空合并到一个坐标系建立闵式空间，宏观的运动过程就是在闵式空间中的变换。闵氏就是爱因斯坦的数学老师，他和对称守恒“恶棍”诺特给出了相对论的严格数学描述。 群则是对变换的一种描述，例如四维时空对应的洛伦兹群，加上四维平移之后就是庞加莱群，一般来说，群在构造之时，主要关心的是其变换关系，即群元素之间的运算关系，群的变换关系就是群的结构。群论最早在欧拉已经有模糊概念，阿贝尔证明5次方程的根式解过程中，发现了置换群，最后伽罗瓦创立了群论这个重要的数学领域，李群就是一个非常有名的群，即n维可微流形，以数学家Sophus Lie命名。 量子力学的对作用的描述是一种近似描述，通过交换粒子产生，例如单个的光子是电磁作用的载力子，电子等带电粒子就是通过交换光子引起电磁力，就是Weyl的规范变换，其不变性被称为局域规范不变locality。Weyl还提出一个二分中微子理论，但导致左右不对称，就被放弃了，20年后才为杨政宁和米尔斯重新发掘出来，引入了一种质量载力子，上帝粒子，成为杨-米尔斯规范场。 亚原子的微观过程还要满足宏观物质不灭的原则，即unitarity，不依赖于作用的机制。粒子散射和反应的几率守恒，或者粒子不产生不湮灭时，波函数保持归一化。 注意到，局域规范不变locality和粒子几率不变unitarity，是两种变换方法，利用这两种方法，可以用费曼图来近似计算亚原子世界发生的结果（后者要求引入鬼场）。
费曼图是一种非常有用的工具，但表述粒子作用状况有时（又同时要求满足unitarity时）会各种各样、十分复杂， 2013年，几位物理学家Arkani-Hamed、Jacob Bourjaily等，发明了一种称为amplituhedron的高维几何方法，不再使用locality、unitarity两种对称，而将粒子看做是时空的几何构造，基于Grassmanian流形，用正弯结构的封闭代替unitarity，即体积，用空间封闭结构的卷代表空间散射振幅，amplituhedron结构的顶点表示粒子，其空间结构替代locality，表面积表示可观察信息（个人对amplituhedron计算方法的理解和费曼图的比较，不一定准确）。 （twistor图，参考Quanta Magazine By: Natalie Wolchover，论文在http://arxiv.org/abs/1212.5605） 32，纲领罗伯特朗兰兹Langlands 纯数学上，能称得上纲领的，最近的一个，似乎是纲领“恶棍”朗兰兹（好吧，还有三维的Thurston）。朗兰兹纲领，是纲领“恶棍”朗兰兹1967年给Weil的一封信中提出，本意是对互反律进行更一般情形的猜想（互反猜想，详情这里不展开了，请自行补充）。之后才发现可以做的更多，形成了联系多个领域包含数论、几何、群论的大纲领。 朗兰兹纲领在数学的几个基本领域都有推广，这里不展开了，不过需要注意的是，到目前为止纲领也没有完全得到证明，这里讨论的是由纲领发展出来的部分形式。约在上个世纪70年代，朗兰兹纲领由数学家Atiyah引入量子场论（又是阿蒂亚Atiyah，此人开了金手指了吗？那就叫他金手指“恶棍”阿蒂亚Atiyah吧。数学物理的只要有一个改变过去的穿越者，那么一定是他。本节部分思想参考Atiyah《物理与数学中的对偶》，错误的请归于我，偶尔正确的，请归于他），可以将电磁对偶从线性推广到非线性。本节接上一节对称，来谈一下对偶。 对偶Duality，与对称一样，不是一种理论，是一种原理Principle。对偶指对同一对象的两种不同的描述。在物理学中，特指两种不同的数学描述，却有着相同的物理结果。第2节克氏门徒“恶棍”玻姆，谈到的卷入序和展开序，就是一个总序的两个对偶序。第4节全息的“恶棍”苏士侃，谈到展现的多个层面，有一个对同一个鱼缸中的同一条鱼的两种不同观察的例子，这也是对偶。在数学中，对偶也广泛存在，最典型的是点线对偶，一个平面由点构成（任意两点可以连成一条线）、或是由线组成（任意两条不平行的线均相交于一点），两种表示方法建立不同的理论，但不同理论可以得出相同的性质，它们是对偶的。数学中的对偶通常在表示论中（当然，某种程度上，一切数学都是表示论）。物理学中的对偶包含，经典物理中的位置动量对偶（傅立叶对偶），量子力学中的波粒对偶，电磁对偶（闵氏空间推广到霍奇在黎曼几何的成果）等。 刚才提到的对偶基本都是线性对偶，但非线性对偶，是现代物理学和数学非常重要的组成部分。它最初就是在物理学中被发掘出来，实际上，很多现代数学中的新成果，其实是由现代理论物理学引发的。这就是Donaldson理论和SeibergWitten几何的对偶，金手指“恶棍”阿蒂亚建议魔法师“恶棍”威滕对朗兰兹纲领几篇推广论文所带来的成果。SeibergWitten不变量与Donaldson不变量给出了同样的信息，由泊桑公式作生成函数（细节请参考相关教科书）。 另一个典型是镜像对称，后来发展为T对偶，也是从物理学中发展而来，数学工具上表现为复几何和辛几何对偶。在物理学中得到的结果如此震惊，起初他们自己都不相信，数学家也不信任他们，因为他们并没有给出严格的数学证明而是通过直觉。最终，这开启了代数几何的一个全新的领域。镜像对称是20世纪浓墨重彩的一项成果。金手指“恶棍”阿蒂亚赞叹道，
这也是一个有趣的互动，物理学家先产生一个答案，而之后，数学家通过其他方式证明它。然后，他们可以交换信息。这不仅仅是量子理论领域，相对论也这样。 弦论中的对偶性，最重要的是五种弦论统一成M理论。 其中蓝色的是S对偶，又称为强弱对偶，是电磁对偶的发展，黄色的是T对偶，又称为时空几何对偶，或者叫做镜像对称Mirror symmetry，其实一定程度上可以看作是傅立叶对偶（空间－动量）的发展，中间统一为M-theory的，实际上是增加了一维，是一个膜弦展开的对偶。 对偶也不仅是统一框架，它也是一种简化运算的方法，有时候，低维复杂的运算可以放在高维中，例如马尔达希纳（J. Maldacena）在97年提出的ADS／CFT对偶（全息对偶，又被称为correspondence），4 1维的反德希特（Anti-de Sitter）时空当中庞加莱代数完全等价于它的3 1维边界上的共形代数，这就是后来所谓的计算等价。上一节中的amplituhedron也使用了对偶方法，是Seiberg对偶，属于S对偶的一种特殊情形。 大概在2000年之后，魔法师“恶棍”威滕和一些年轻人发展了非阿贝尔代数几何（Grothendieck的部分成果），表明，黎曼曲面的几何朗兰兹纲领可以从非阿贝尔对偶中重建，每一种4维对偶都有电和磁两种形式，特定代数簇镜面对称在其中发挥了重要的作用。这是一个深刻的发展，必须承认，金手指“恶棍”阿蒂亚数年之前，那时候，他还只是了解一点点，他做了一些猜测，也许朗兰兹纲领能用电磁对偶来理解，这是一个很好的猜测，20年后，我们终于真正到达这个位置。 （金手指“恶棍”阿蒂亚不是穿越的谁信啊？是不是应该叫他穿越“恶棍”啊？或者他就是温伯格所谓与魔鬼交易那个数学家？） 33，仿佛来自虚空Grothendieck
Grothendieck本人就像他名为《收获与播种》的自传中所描述的一样，仿佛来自虚空。他的横空出世，改变了数学的整体面貌。 仿佛来自虚空“恶棍”Grothendieck着重于K理论（广义同调论）、motive猜想（上同调理论）、同伦论（非阿贝尔代数几何）等，很多思想现在仍然未被了解，他的工作间接引发了一些重要成果，如纲领“恶棍”朗兰兹猜想motive和自守表示之间的精确关系（并写进朗兰兹纲领）、P. Deligne证明了Weil猜想、G. Faltings证明了Mordell猜想、A. Wiles对费马大定理的解决等等。虽然英国每日电讯“爱因斯坦对于物理界有多重要，他对于数学界就有多重要”这个盖棺之论是一种过誉之辞，法国Liberation“上帝只有一个，就是Grothendieck”这种口号是一种神化，但仿佛来自虚空“恶棍”Grothendieck在数学领域的影响力，由此可窥一斑。 仿佛来自虚空“恶棍”Grothendieck重要之处不在于他开创性的成果，而是构成它精华和力量的想法、甚至梦想，“伟大而高贵的精神”，所以，仿佛来自虚空“恶棍”Grothendieck所引发的东西，比他建立的东西更加有意义，这里就不展开了，只接着简单谈一下K理论和同调homology。 同调其实就是在非线性条件下线性不变量的构造，属于拓扑的一个细分领域。在复杂的拓扑空间得到它的一些简单信息如计算它的洞或者类似事物的个数，得到某些与之联系的可加的线性不变量等。数学中同调包含拓扑同调、微分同调（de Rham cohomology）、层同调（Grothendieck、Leray、Cartan、Serre）等。有点类似Hilbert Syzygy合系的方法，复杂关系的分层的线性解。Syzygy源于希腊语，suzugos是伙伴（腓4:3中保罗的名字）、zeugnunai是共轭，合起来意指天文之中，行星与太阳处于一条直线的现象。个人觉得之后同调论的发展，例如Hilbert合系的一些推广，已经搞得太复杂了，都是冈布茨“恶棍”阿诺德所谓抽象代数害的，本身就很复杂，还加上了一些分析手段，越绕越麻烦，而且还不实用。 K理论可以这样理解，它可以被想成是应用矩阵论的一种尝试，从多个矩阵中把不可换的两个矩阵的不同块放正交位置上，于是就可换了。与同调相似，K理论同样是从复杂的非线性情形获取线性的信息，只是不满足同调公理的维数，其实可以看作是广义的同调。Hirzebruch和金手指“恶棍”阿蒂亚甚至将这样的思想直接应用到纯粹拓扑范畴之中，但更接近于Riemann-Poincaré在同调方面的工作，K理论的很多成果被热时间“恶棍”康尼斯运用于非对易几何（也是一个相当宏伟的统一理论），魔法师“恶棍”威滕在弦论方面的一些工作，也都与K理论相关。 我们一定程度上可以把同调和K理论看做是对称守恒“恶棍”诺特更进一步的统一框架，在非线性系统中引入的线性不变量。与上一节对偶类似，同调理论的发展实际上也是由物理学引发，就是拓扑场论、BPS态等，当然最初物理学家开始并未意识到。金手指“恶棍”阿蒂亚在后来才提出了一套公理，后来间接导致了纽结理论的发展，不愧为金手指。 34，纽结Kontsevich 对称，可以看作是一种整体性质。更进一步的是对偶、同调，其核心是变换中的不变性。 在20世纪之前，科学并不研究事物的整体性质，只研究它的组成部分。这种源自自然哲学（从其中发展的数学和物理）的科学精神一定程度上传递到周边的研究之中，例如社会科学，并不研究“既定”整体，它的任务是通过用常见因素建构各种模式，来建立起这种整体（哈耶克），又如地理学，不同于系统科学，并不研究地球要素本身，而分析这些要素的组成部分（R.哈特向）。 然而，在20世纪，首先是数学，由名字算什么“恶棍”庞加莱发起，开始了整体性质的研究，奠定了现代数学不同分支的基础，尤其是拓扑学。名字算什么“恶棍”庞加莱不仅为拓扑学发展作出先驱性的贡献，而且也预言拓扑学将成为二十世纪数学的一个重要的组成部分。顺便提下，给出一系列著名问题的Hilbert并没有意识到这一点。 考虑一下复分析，或者叫做函数论，是19世纪数学的中心，对他们（Weierstrass等）来说，一个函数是一个就是一个复变量的函数、一种幂级数、可以明确写下来的公式。Abel、黎曼让我们远离了这些，函数更多的通过整体性质来定义，奇异点位置、定义域位置、取值范围等，这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性，局部展开只是看待它们的一种方式。 考虑微分方程，同样，最初，解一个微分方程，人们需要寻找一个明确的局部解，随着事物的发展，解不必是一个显函数，人们不一定必须用好的公式来描述它们，解的奇异性是真正决定其整体性质的东西。数论也有一个类似的发展，尽管它并不是很明显地适用于这一框架，那些在拓扑学发展中产生的思想深深地影响了数论。 我们进一步将这种转变与数学和物理的融合联系起来，甚至更细节的将这种转变与物理中对称、对偶、同调等整体性质的引入联系起来，与现代物理学对时空的描述联系起来。这种联系、发展不是脉络性的，不像几何的“牛顿-庞加莱-阿诺德”，代数的“莱布尼兹-希尔伯特-布尔巴基”，空间和对称的《A mad day’s work: From Grothendieck to Connes and Kontsevich》。这种联合并非跨越界限，整体论通常被看作是哲学，不要说科学的终结是哲学这样的废话，即便真有科学的终结，它仍然是科学。 回到纽结“恶棍”Kontsevich，也是一位俄罗斯数学家，他1990年到波恩大学访问期间就证明了魔法师“恶棍”威滕曲线模空间相交数猜测，还证明了2个量子引力模型的数学等价性，他也是镜像对称（T对偶）的严格数学表述的提出者，拓扑场论的数学表述提出者，在他工作出炉之前，镜像对称还是物理学家们的直觉，拓扑场论还没有与同调关联起来。纽结“恶棍”Kontsevich还提出了任意泊桑流形的形变量子化。因为这些成果获得1998年菲尔兹奖（几何学四个问题的贡献），2008年的Crafoord奖，2014年的数学突破奖。纽结“恶棍”Kontsevich之于镜像对称，有点类似于对称守恒“恶棍”诺特之于相对论。 Kontsevich的一项重要成果是关于纽结的，同样是拓扑学的一个分支。它是关于绳结的描述， 最早的波罗米恩结Borromean Knot在各个文化中都有描述，拉康用于解释潜意识（参考《英雄历程与人的内在转化》心灵的拓扑结构，回复56获得文章），在物理中早期也有涡旋理论。
这是纽结目录，其中第一个就是圆环，是最基本的纽结形式，即平凡纽结unknot，第二个就是三叶结，最简单的非平凡结。随着纠缠的次数增加，纽结的数学问题就变得非常复杂了，早期一直没有较好的数学方法，只总结了一些目录，如Perko纽结对，直到1984年，Jones提出了Jones多项式，之后被魔法师“恶棍”威滕引入量子计算中，并改进为量子不变量，即拓扑量子理论。 渐渐的，一些凝聚态物理的方法，有限型不变量被引入，通过被整合、重构为Jones不变量，用来定义纽结性质。纽结“恶棍”Kontsevich在1993年给出了一个Kontsevich积分法，将纽结的所有有限型不变量浓缩成一个紧凑干练的表达式，其方法类似于费曼在量子力学中的路径积分。 纽结理论之后发展为Khovanov-Rozansky范畴法，是物理和数学结合的新方法，不仅可以用于纽结，“我们认为的相对论与量子理论间的失调也许只是个假象”（Mikhail Khovanov），希望“真的象”在不久将来出现。 35，结语 对称、对偶、同调、纽结，是物理学和数学结合的新方法（新几何），构成了“恶棍列传”的数学基础。 Dyson（戴森球那个Dyson）在1972年遗憾的宣称，
Gregory W. Moore在2014年《Physical Mathematics and the Future》中说，他们又重新结婚了。 ＋ ＝新物理数学？ 希望不是Woit评论的越来越远吧。 本文转载自：微信公众账号 - sayonly，版权归原作者所有！ |
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